Distribusi peluang diskrit dan distribusi peluang kontinu

Distribusi peluang adalah sebuah daftar dari semua hasil yang mungkin muncul dari sebuah percobaan dan peluang yang berhubungan dengan setiap hasil.
Distribusi peluang dibagi 2 :
1. Distribusi Peluang Diskrit hanya dapat bernilai tertentu. Ciri-ciri utamannya adalah :
Jumlah total peluangnya sama dengan 1
Peluang dari suatu hasil adalah antara 0 sampai 1
Hasilnya tidak terikat satu sama lain
2. Distribusi Peluang Kontinu dapat bernilai tak hingga dalam suatu jangkauan yang spesifik.
Nilai rata-rata dan variansi dari sebuah distribusi peluang dapat dihitung sebagai berikut :
Rumus Menghitung Rata-rata  :

Rumus Menghitung Variansi :

Berikut ini beberapa Distribusi Peluang Diskrit :
1.Distribus Binomial
Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamanasuatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.
Proses Bernoulli adalah, sebuah proses eksperimen statistik yg memilikiciri-ciri:
•Probabilitas “sukses” di tiap percobaan, p, besarnya tetap dari satu    percobaan ke berikutnya.
•Satu percobaan dan yg berikutnya bersifat independen
•Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang2.
•Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, suksesatau gagal3.
•Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usahaberikutnya.4.
•Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
Distribusi Binomial: General Case
Kasus distribusi binomial umum:
•dilakukan eksperimen sebanyak n kali pengambilan
•dari n tsb, sebanyak x dikategorikan “sukses”,jadi sebanyak n-x adalah “gagal”
•probabilitas “sukses” di tiap percobaan = p, berarti probabilitas “gagal “, q=1-p.
Maka probabilitas terjadinya outcome dengan konfigurasi x “sukses” dan (nx) “gagal” tertentu,
adalah: P(SSS … GGG)= ppp….qqq = pxqn-xSebab S ada x buah dan G sebanyak (n-x) buah.
Tentu ada banyak konfigurasi  lain yg juga  memiliki x buah S dan (n-x) buah G
Sehingga probabilitas mendapatkan hasil eksperimen yg memiliki
x buah S dan (n-x) buah G adalah:Cnxpxqn-x= b(x;n,p)
CONTOH DISTRIBUSI BINOMIAL
1.            Dari suatu distribusi binomial, diketahui p =0,5 dan n =2.Tentukan bilangan acak dari distribusi binomial dengan a = 77 z0= 12357 dan m = 127.

Setiap hasil diklasifikasikan ke dalam satu dari dua kategori yang tidak terikat satu sama lain.
Distribusi ini dihasilkan dari perhitungan jumlah sukses dari sejumlah percobaan.
Peluang sebuah sukses tetap sama dari satu percobaan ke percobaan lain.
Setiap percobaannya saling bebas.
Peluang Binomial dengan p = Peluang suskes dihitung dengan rumus sbb:

Nilai Rata-rata nya :

Nilai Variansinya :

2.Distribusi Hipergeometris
Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian.
Distribusi Hipergeometrik sangat serupa dengan distribusi binomial,
Persamaannya:
Keduanya menyatakan probabilitas sejumlah tertentupercobaan masuk dalam Kategori tertentu.
Perbedaannya:
••Binomial mengharuskan ketidakbergantungan dari satu percobaan (trial) ke percobaan berikutnya.
••Jadi sampling harus dilakukan dengan dikembalikan (replaced)
••Hipergeometrik tidak mengharuskan ketidakbergantungan, jadi sampling dilakukan tanpa
••mengembalikan outcome yg sudah keluar.
Distribusi Hipergeometrik dari variabel random X yang menyatakan banyaknya outcome
yang “sukses”dari sampel random sebanyak n yg diambil dari populasi sebanyak N,
dimana dari N tsb sebanyakk buah adalah “sukses” dan sisanya “N k” adalah “gagal”
Suku pembagi (denominator) menyatakan banyak kombinasi yg terjadi jikadari N obyek
diambil n tiap kali.
Faktor pertama suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek
berjenis “sukses” yg berjumlah k jika tiap kali diambil sebanyak x buah.
Faktor kedua suku terbagi (numerator) menyatakan banyaknya kombinasi dari obyek
berjenis “gagal” sebanyak N-k jika tiap kali diambil sebanyak (n-x) buah.
CONTOH DISTRIBUSI HIPERGIOMETRIK
1.Suatu panitia pemilihan dibentuk berdasarkan 6 orang yang diambil secara acak dari 15 orang yang mendaftar. Enam puluh persen diantaranya adalah wanita, maka dihitung probalitas tepat 2 wanita dalam panitia tersebut.
Misalkan X adalah banyaknya wanita yang terpilih dalam kepanitiaan, maka x= 2, n = 6, N = 15, dan m = 60% dari N =(0,60)(15) = 19, sehingga probalitas tepat 2 wanita dalam panitia tersebut adalah
3.

Distribusi ini hanya memiliki dua hasil yang mungkin muncul.
Peluang sebuah sukses tidak sama untuk setiap percobaan
Distribusi ini dihasilkan dari perhitungan jumlah sukses dari sejumlah percobaan
Distribusi ini digunakan ketika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian.

4.Distribusi Poisson
Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlahkemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu.
Distribusi probabilitas dari variabel random Poisson X yg menyatakanbanyaknya outcome dalam
interval waktu tertentu t (atau daerahtertentu) dengan λ menyatakan laju terjadinya
outcome persatuanwaktu atau per satuan daerah diberikan oleh (tidak diturunkan!):
Sifat Distribusi Poisson
1. Tidak punya memoriatau ingatan, yaitu banyaknya outcome dalamsatu interval waktu
(atau daerah) tidak bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau daerah yg lain.
2. Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu (atau daerah) yg sangat pendek (kecil)
sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb (atau luas daerahnya). Dan tidak bergantung
pada kejadian atau outcome di luar interval ini.
3. Probabilitas terjadinya lebih dari 1 outcome dalam interval waktu yg sangat pendek di (2)
tsb sangat kecil atau bisa diabaikan.
CONTOH DISTRIBUSI POISSON
1.Mean banyaknya panggilan ke call center dalam 2 hari adalah 6 panggila. Di hitung probalitas 
bahwa:
1) minimal ada 2 panggilan dalam 2 hari
2) ada tujuh panggilan dalam 4 hari
3) maksimum ada satu panggilan dalam 1 hari
Misalkan X adalah banyaknya panggilan ke call center dan u adalah mean banyaknya panggilan ke call center dalam 2 hari (t = 2), maka u sama dengan 6, sehingga:
1) Jika mean banyaknya panggilan ke call center diberikan dalam 2 hari, maka probalitas minimal
ada 2 panggilan dalam 2 hari akan bernilai
2. Jika mean banyaknya panggilan 2 hari, maka probalitas ada 7 panggilan dalam 4 hari akan bernilai.
3. Jika mean banyaknya panggila ke call center diberikan 2 hari, maka probalitas maksimum ada1 panggilan dalam 1 hari akan bernilai
5.
Distribusi ini menjelaskan jumlah kejadian dari suatu peristiwa selama interval tertentu
Peluang sebuah sukses terjadi secara proporsional dengan panjang intervalnya
Interval-interval yang tidak saling tumpang tindih bersifat saling bebas

4. Distribusi Multinomial
Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yangdikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.
Sebagai generalisasi dari distribusi binomial adalah denganmelonggarkan kriteria banyaknya
outcome yg mungkin jadi > 2.Dalam hal ini maka percobaannya disebut percobaan multinomial
sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi multinomial.
Definisi:
Misal setiap percobaan bisa menghasilkan k outcome yg berbeda,E1, E2, …,Ek masing-,masing dengan probabiliitas p1, p2, …,pk.
Maka distribusi multinomial f(x1,x2,…,xk;p1,p2, ..,pk, n) akanmemberikanprobabilitas
bahwa E1 akan muncul sebanyak x1 kali,E2 akan muncul sebanyak x2 kali, dst dalam pengaman
independen sebanyak n kali, jadix1+ x2+ ….+ xk=ndengan p1+p2+  …+ pk =1
CONTOH DISTRIBUSI MULTINOMIAL
1.Seorang manager kedai kopi menemukan bahwa probalitas pengunjung membeli 0,1,2 atau 3 cangkir kopi masing masing adalah 0,3 , 0,5 , 0,15 , dan 0,05. Jika ada 8 pengunjung yang masuk kedai,maka tentukan probalitas bahwa 2 pengunjung akan memesan minuman lain, 4 pengunjung akan memesan 1 cangkir kopi, 1 pengunjung akan memesan 2 cangkir, dan 1 pengunjung akan memesan 3 cangkir kopi.
Misalkan X adalah banyaknya pengunjung yang memesan cangkir kopi dengan x1 = 2, x2 = 4, x3 = 1, dan x4 = 1; dengan p1 = 0,3 , p2 = 0,5 , p3 = 0,15 , p4 = 0,05 , dan n = 8 , maka probalitas bahwa 2 pengunjung akan memesan minuman lain, 4 pengunjung akan memesan 1 cangkir kopi, 1 pengunjung akan memesan 2 cangkir, dan 1 pengunjung akan memesan 3 cangkir kopi.
DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
A. PENGERTIAN DISTRIBUSI PELUANG KONTINU
    DISTRIBUSI PELUANG KONTINU ADALAH PEUBAH ACAK YANG DAPAT MEMPEROLEH SEMUA NILAI PADA SKALA       KONTINU. RUANG SAMPEL KONTINU ADALAH BILA RUANG SAMPEL MENGANDUNG TITIK SAMPEL YANG TAK TERHINGGA BANYAKNYA. SYARAT DARI DISTRIBUSI KONTINU ADALAH APABILA FUNGSI F(X) ADALAH FUNGSI PADAT PELUANG PEUBAH ACAK KONTINU X YANG DIDEFINISIKAN DI ATAS HIMPUNAN SEMUA BILANGAN RIIL R BILA:

B. KONSEP DAN TEOREMA DISTRIBUSI
1. DISTRIBUSI NORMAL
     DISTRIBUSI NORMAL (GAUSSIAN) MUNGKIN MERUPAKAN DISTRIBUSI PROBABILITAS YANG PALING PENTING BAIK DALAM TEORI MAUPUN APLIKASI STATISTIK. DISTRIBUSI INI PALING BANYAK DIGUNAKAN SEBAGAI MODEL BAGI DATA RIIL DI BERBAGAI BIDANG YANG MELIPUTI ANTARA LAIN KARAKTERISTIK FISIK MAKHLUK HIDUP (BERAT, TINGGI BADAN MANUSIA, HEWAN, DLL). TERDAPAT EMPAT ALASAN MENGAPA DISTRIBUSI NORMAL MENJADI DISTRIBUSI YANG PALING PENTING :
A. DISTRIBUSI NORMAL TERJADI SECARA ALAMIAH.
B. BEBERAPA VARIABEL ACAK YANG TIDAK TERDISTRIBUSI SECARA NORMAL DAPAT DENGAN MUDAH DITRANSFORMASI MENJADI SUATU DISTRIBUSI VARIABEL ACAK YANG NORMAL.
C. BANYAK HASIL DAN TEKNIK ANALISIS YANG BERGUNA DALAM PEKERJAAN STATISTIK HANYA BISA BERFUNGSI DENGAN BENAR JIKA MODEL DISTRIBUSINYA MERUPAKAN DISTRIBUSI NORMAL.
D. ADA BEBERAPA VARIABEL ACAK YANG TIDAK MENUNJUKKAN DISTRIBUSI NORMAL PADA POPULASINYA, NAMUN DISTRIBUSI DARI RATA-RATA SAMPEL YANG DIAMBIL SECARA RANDOM DARI POPULASI TERSEBUT TERNYATA MENUNJUKKAN DISTRIBUSI NORMAL.
       DISTRIBUSI NORMAL DISEBUT JUGA GAUSIAN DISTRIBUTION ADALAH SALAH SATU FUNGSI DISTRIBUSI PELUANG BERBENTUK LONCENG SEPERTI GAMBAR BERIKUT.

BERDASARKAN GAMBAR DI ATAS, DISTRIBUSI NORMAL AKAN MEMILIKI BEBERAPA CIRI DIANTARANYA:
A. KURVANYA BERBENTUK GARIS LENGKUNG YANG HALUS DAN BERBENTUK SEPERTI GENTA.
B. SIMETRIS TERHADAP RATAAN (MEAN).
C. KEDUA EKOR/ UJUNGNYA SEMAKIN MENDEKATI SUMBU ABSISNYA TETAPI TIDAK PERNAH MAEMOTONG.
D. JARAK TITIK BELOK KURVA TERSEBUT DENGAN SUMBU SIMETRISNYA SAMA DENGAN Σ
E. LUAS DAERAH DI BAWAH LENGKUNGAN KURVA TERSEBUT DARI - ~ SAMPAI + ~ SAMA DENGAN 1 ATAU 100 %.

DIMANA:

DENGAN MENERAPKAN KETENTUAN DIATAS PADA PERSAMAAN (1) MAKA FUNGSI KEPADATAN PROBABILITAS DARI DISTRIBUSI NORMAL STANDARD VARIABEL ACAK KONTINU Z ADALAH: 
SEDANGKAN FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF DARI DISTRIBUSI NORMAL STANDARD INI DINYATAKAN SEBAGAI :

2. DISTRIBUSI STUDENT’S T
DISTRIBUSI STUDENT’S T ADALAH DISTRIBUSI YANG DITEMUKAN OLEH SEORANG MAHASISWA YANG TIDAK MAU DISEBUT NAMANYA. UNTUK MENGHARGAI HASIL PENEMUANNYA ITU, DISTRIBUSINYA DISEBUT DISTRIBUSI STUDENT YANG LEBIH DIKENAL DENGAN DISTRIBUSI “T”, DIAMBIL DARU HURUF TERAKHIR KATA “STUDENT”. BENTUK PERSAMAAN FUNGSINYA :

DISTRIBUSI PELUANG KONTINU PAGE 4

BILANGAN N – 1 DISEBUT DERAJAT KEBEBASAN (DK). YANG DIMAKSUDKAN DENGAN DK IALAH KEMUNGKINAN BANYAK PILIHAN DARI SEJUMLAH OBJEK YANG DIBERIKAN. MISALNYA KITA MEMPUNYAI DUA OBJEK YAITU A DAN B. DARI DUA OBJEK INI KITA HANYA MUNGKIN MELAKUKAN 1 KALI PILIHAN SAJA, A DAN B. SEANDAINYA TERPILIH A MAKA B TIDAK USAH DIPILIH LAGI. DAN UNTUK ITU DK = 2 – 1 = 1.
CONTOH SOAL:
A. UNTUK N = 13, JADI DK = (N-1) = 13 - 1 = 12, DAN P = 0,95 MAKA T = 1,782 INI DIDAPAT (LIHAT TABEL DISTRUIBUSI-T) DENGAN JALAN MAJU KE KANAN DARI 12 DAN MENURUN 0,95.

JAWAB:
UNTUK TABEL YANG DISUSUN SECARA KUMULATIF MAKA KITA HARUS MELIHAT PADA TABEL T KUMULATIF, DERAJAT BEBAS (V) =10 DAN P = 1-0,05 = 0,95 DAN INI MENGHASILKAN :

3. DISTRIBUSI CHI-KUADRAT (X2) (DISTRIBUSI CHI SQUARE)

JIKA VARIABEL ACAK KONTINU X MEMILIKI DISTRIBUSI CHI-KUDRAT DENGAN PARAMETERV, MAKA FUNGSI KEPADATAN PROBABILITAS DARI X ADALAH :

PARAMETER N DISEBUT ANGKA DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM/DF) DARI X. SEDANGKAN FUNGSI DISTRIBUSI KUMULATIF CHI-KUADRAT ADALAH :

BERIKUT INI DIBERIKAN RUMUSAN BEBERAPA UKURAN STATISTIK DESKRIPTIF UNTUK DISTRIBUSI CHI-KUADRAT.
MEAN (NILAI HARAPAN) :

VARIANS :

KEMENCENGAN (SKEWNESS) :

CONTOH :
SUATU PERUSAHAAN BATERAI MOBIL MEMBERIKAN JAMINAN BAHWA MASA PAKAI BATERAI YANG DIPRODUKSINYA ADALAH RATA-RATA 3 TAHUN DENGAN SIMPANGAN BAKU 1 TAHUN. JIKA DIAMBIL CONTOH SEBANYAK 5 BUAH BATERAI DAN MASA PAKAINYA (DALAM TAHUN) ADALAH: 1,9 ; 2,4 ; 3,0 ; 3,5 ; DAN 4,2. APAKAH BENAR BAHWA JAMINAN PERUSAHAAN TENTANG SIMPANGAN BAKU 1 TAHUN DAPAT DIPERCAYA?
PENYELESAIAN :
PERTAMA-TAMA KITA MENGHITUNG NILAI RAGAM CONTOH (S2) :

4. DISTRIBUSI F (DISTRIBUSI FISCHER)
MENURUT GASPERZ (1989:251), SECARA TEORI SEBARAN F MERUPAKAN RASIO DARI DUA SEBARAN CHI KUADRAT YANG BEBAS. OLEH KARENA ITU PEUBAH ACAK F DIBERIKAN SEBAGAI: