Pengertian probabilitas dan teorema bayes

Pengertian Probabilitas adalah suatu nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat terjadinya suatu kejadian yang acak. Kata probabilitas itu sendiri sering disebut dengan peluang atau kemungkinan. Probabilitas secara umum merupakan peluang bahwa sesuatu akan terjadi.

Konsep probabilitas memiliki peranan yang penting dalam kehidupan sehari-hari, mulai dari bidang ilmiah, bidang pemerintahan, bidang usaha atau industri, sampai pada masalah-masalah kecil seperti masuk kantor atau tidak karena awan tebal yang kemungkinan akan hujan deras dan banjir.

Dalam mempelajari probabilitas, ada tiga kata kunci yang harus diketahui yaitu eksperimen, hasil (outcome) dan kejadian atau peristiwa (even). Sebagai contoh, sebuah eksperiman dilakukan dengan menanyakan kepada 100 orang pembaca, apakah mereka akan mengambil mata kuliah statistik atau kalkulus. Dari eksperimen ini akan terdapat beberapa kemungkinan hasil. Contohnya kemungkinan hasil pertama ialah sebanyak 58 orang akan mengambil mata kuliah apapun. Kemungkinan hasil lain adalah bahwa 75 orang mengambil mata kuliah kalkulus dan sisanya mengambil mata kuliah statistik. Contoh lain dari eksperimen adalah pelemparan sebuah dadu. Hasil (outcome) dari pelemparan sebuah dadu tersebut kemungkian akan keluar biji satu atau biji dua atau biji tiga dan seterusnya. Kumpulan dari beberapa hasil tersebut dikenal sebagai kejadian (even).

Probabilitas biasanya dinyatakan dengan bilangan desimal (seperti 0,50, 0,20 atau 0,89) atau bilangan pecahan seperti 5/100, 20/100, 75/100. Nilai dari probabilitas berkisar antara 0 sampai dengan 1. Jika semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 0, maka semakin kecil juga kemungkinan suatu kejadian akan terjadi. Jika semakin dekat nilai probabilitas ke nilai 1, maka semakin besar peluang suatu kejadian akan terjadi.

Aturan probabilitas

Hukum Penjumlahan
Dalam mempelajari hukum dasar probabilitas berturut-turut akan dibahas hukum penjumlahan dan hukum perkalian.
Peristiwa saling lepas (Mutually exclusive)
Hukum penjumlahan menghendakiperistiwa yang saling lepas atau mutually exclusive yaitu apabila suatu peristiwa terjadi, maka peristiwa lain tidak dapat terjadi pada saat bersamaan.
Jika kejadian A dan B saling lepas maka probabilitas terjadi peristiwa tersebut adalah :
P(A atau B) = P(A) + P(B)
P ( A ∪ B ) = P(A) + P(B)
Contoh :
Bila sebuah dadu dilemparkan, tentukan probabilitas :
A Peristiwa mata dadu 4 muncul
B Peristiwa mata dadu lebih kecil dari 3 muncul
Jawab :

Jadi P(A atau B) = P(A) + P(B) =

1. Peristiwa atau Kejadian Bersama
Peristiwa atau kejadian bersama Non Mutually Exclusive (Joint) yaitu dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama). Probabilitas peristiwa atau kejadian bersama dirumuskan sebagai berikut :
P(A atau B)    = P(A) + P(B) – P(A dan B)
P(A ∪ B)        = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Contoh :
Pada pengambilan kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap, kejadian :
A = terpilihnya kartu As
B = terpilihnya kartu wajik
Hitunglah P(A ∪ B)
Jawab :

Maka P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)=

Hukum Perkalian
Dua peristiwa atau kejadian yang saling bebas ( independent event )
Dua peristiwa atau kejadian yang saling bebas ( independent event ) artinya terjadinya suatu kejadian atau peristiwa tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa lain. Dua peristiwa atau kejadian yang saling bebas (independen) dinyatakan sebagai berikut :
P ( A ∩ B ) = P(A dan B) = P(A) . P(B)
Contoh :
Sebuah mata uang logam dan sebuah dadu dilemparkan satu kali secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya sisi muka pada uang logam dan mata 4 pada dadu.
Jawab :
Misal        A = munculnya sisi muka pada uang logam
B = mata 4 pada dadu
Jadi ,
P ( A B )           = P(A) . P(B)
                             =

1. Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat artinya terjadinya suatu kejadian atau peristiwa dengan syarat peristiwa lain harus (telah) terjadi dan peristiwa-peristiwa tersebut saling mempengaruhi. Probabilitas kejadian A dengan syarat kejadian B telah terjadi yang dilambangkan dengan P(A/B) dan dirumuskan sebagai berikut :

Contoh 1:
Sebuah kota berisikan 11 bola dengan rincian :
1. 5 buah bola putih bertandakan +
2. 1 buah bola putih bertandakan –
3. 3 buah bola kuning bertandakan +
4. 2 buah bola kuning bertandakan –
Bila diambil sebuah bola kuning dari kotak :
1. Berapa probabilitas bola itu bertanda +
2. Berapa probabilitas bola itu bertanda –
Misal        B        = bola kuning
A+       = bola bertanda +
A–        = bola bertanda –
Jadi
1. Jadi
2.

1. Probabilitas Gabungan
Terjadinya dua kejadian atau lebih peristiwa secara beruntun (bersamaan) dan peristiwa-peristiwa itu saling mempengaruhi, dirumuskan :


Contoh:
Dari satu set kartu bridge, diambil tiga kartu setiap mengambil kartu yang dipilih tidak dikembalikan lagi. Tentukan probabilitas untuk tiga kartu AS
Jawab
S            = kumpulan semua kartu n(S) = 52
A           = terpilih kartu AS pada pengambilan pertama
B/A        = terpilih kartu AS pada pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan pertama terpilih kartu AS
C/AÇB  = terpilihnya kartu As pada pengambilan ketiga dengan syarat pengambilan pertama dan kedua terpilih kartu As
1. Pengambilan pertama kartu as lengkap, n(A) = 4, n(S) = 52
2. Pengambilan ke dua, kartu As tinggal 3 maka n(B/A) = 3, n(S) = 51, jadi
3. Pengambilan ke tiga, kartu As tinggal 2 maka n(C/AÇB) = 2, n(S) = 50, jadi
=

1. Kejadian atau Peristiwa saling komplementer (Pelengkap)

Peristiwa pelengkap menunjukkan bahwa apabila ada dua peristiwa A dan B yang saling melengkapi, sehingga apabila peristiwa A tidak terjadi, maka peristiwa B pasti terjadi.
                             P(A) + P(B) = 1 atau P(A) = 1– P(B)
Contoh :
Pada pelemparan dua dadu, jika A adalah kejadian munculnya muka dadu sama, hitunglah probabilitas munculnya muka dua dau yang tidak sama:
Jawab :
Tabel Hasil yang mungkin muncul dari dua dadu
Dadu
II
1 2 3 4 5 6
Dadu I 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}
maka,
B = Kejadian munculnya muka dua dadu yang tidak sama. Maka A dan B adalah dua kejadian yang saling komplementer sehingga :


1. Probabilitas marginal
Probabilitas marginal yaitu terjadinya suatu peristiwa yang tidak memiliki hubungan dengan terjadinya peristiwa lain dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.
Misalkan A1, A2, dan A3 adalah ketiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. Gambar berikut menunjukkan kejadian-kejadian tersebut dalam S
Kejadian B dapat dinyatakan sebagai :
B = ( B ∩ A1) ∪ ( B ∩ A2) ∪ ( B Ç A3)
Karena kejadian ( B ∩ A1) , ( B ∩ A2) dan ( B ∩ A3) adalah kejadian saling lepas,
maka probabilitas kejadian B menjadi:
P(B) = P( B ∩ A1) + P( B ∩ A2) + P( B ∩ A3)
Dimana:
P( B v A1) =P(B/A1).P(A1), P( B ∩ A2) =P(B/A2).P(A2), P( B ∩ A3) =P(B/A3).P(A3)
Sehingga: P(B) menjadi
P(B) =P(B/A1).P(A1) + P(B/A2).P(A2) + P(B/A3).P(A3)
P(B) = ∑ P(B ∩ A)
P(B) = ∑ P(B/Ai).P(Ai)
Contoh :
1. Sebuah perusahaan memproduksi satu jenis sepatu ditiga pabrik yang berbeda. Jika dalam seminggu ketiga pabrik memproduksi 40, 120 dan 80 sepatu. Dan sepatu rusak ditiap pabrik adalah 2, 10 dan 6 sepatu. Berapa probabilitas 1 sepatu rusak!
Jawab
A1        = 40 jadi
A2        = 120 jadi
A3        = 80 jadi




1. Pak Budi memproduksi suatu jenis baterai di tiga pabrik yang peralatan dan karyawannya berbeda. Produksi mingguan pabrik pertama (A1 = 500), pabrik kedua (A2 = 2.000), dan pabrik ketiga (A3 = 1.500). Dan besarnya nilai probabilitas barang rusak dari pabrik pertama P(B/A1) adalah 0,02, probabilitas barang rusak dari pabrik kedua P (B/A2) adalah 0,015, dan probabilitas barang rusak dari pabrik ketiga P(B/A3) adalah 0,030. Dimana baterai yang diproduksi oleh pabriktersebut digunakan untuk menyuplai pabrik mobil. Dengan demikian, pabrik mobil setiap minggunya menerima suplai baterai sebanyak 4000. Kalau pemilik pabrik tersebut mengambil 1 baterai secara acak (random), berapa probabilitasnya bahwa baterai yang diambil oleh pemilik pabrik mobil yang rusak?
Jawab
P(B/A1) = Probabilitas baterai rusak dan dari pabrik pertama 0,02
P(B/A2) = Probabilitas baterai rusak dan dari pabrik kedua 0,015
P(B/A3) = Probabilitas baterai rusak dan dari pabrik ketiga 0,030
A1        = 500 jadi 0,125
A2        = 2.000 jadi 0,5
A3        = 1.500 jadi 0,375


1. Teorema Bayes
Dalam kehidupan sehari-hari banyak kejadian yang saling terkait satu sama lain dan kejadian yang satu menjadi syarat untuk terjadinya kejadian yang lain. Misalnya “Saya bersedia diajak nonton, asalkan saya ditunggu”
Jadi,
Rumus diatas lebih dikenal dengan“Teorema Bayes”. Teorema bayes lebih dikenal dengan kaidah /aturan bayes, teorema ini digunakan untuk menghitung kaidah probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh didapat dari diservasi. Teorema ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (misal A) dengan syarat peristiwa lain (misal X) telah terjadi.

Contoh :
Diterima tidaknya suatu usul pembuatan jembatan baru di kota Pagaralam tergantung kepada hasil pemilihan 4 calon kepala Bappeda Pagaralam, yaitu calon A1, A2, A3 dan A4, dimana masing-masing mempunyai probabilitas untuk terpilih sebesar P(A1) = 0,30, P(A2) = 0,20, P(A3) = 0,40 dan P(A4) = 0,10. Kalau calon yang terpilih A1, A2, A3, A4, maka probabilitas bahwa proyek tersebut akan disetujui oleh para calon masing-masing sebesar P(B/A1) = 0,35, P(B/A2) = 0,85, P(B/A3) = 0,45, dan P(B/A4) = 0,15.
1. Berapa besarnya P(B)
2. Jadi usul proyek diterima, berapa probabilitasnya bahwa calon kedua yang terpilih?

Jawab
=   (0,35) (0,30) + (0,85) (0,20) + (0,45) (0,40) + (0,15) (0,10)
= 0,105 + 0,17 + 0,18 + 0,015
= 0,47

Teorema Bayes
TEOREMA BAYES

Dalam teori probabilitas dan statistika, Pengertian Teorema Bayes adalah teorema yang digunakan untuk menghitung peluang dalam suatu hipotesis, Teorema bayes dikenalkan oleh ilmuan yang bernama Bayes yang ingin memastikan keberadaan Tuhan dengan mencari fakta di dunia yang menunjukan keberadaan Tuhan. Bayes mencari fakta keberadaan tuhan didunia kemudian mengubahnya dengan nilai Probabilitas yang akan dibandingkan dengan nilai Probabilitas. teorema ini juga merupakan dasar dari statistika Bayes yang memiliki penerapan dalam ilmu ekonomi mikro, sains, teori permain, hukum dan kedokteran.

Teorema Bayes akhirnya dikembangkan dengan berbagai ilmu termasuk untuk penyelesaian masalah sistem pakar dengan menetukan nilai probabilitas dari hipotesa pakar dan nilai evidence yang didapatkan fakta yang didapat dari objek yang diagnosa.Teorama Bayes ini membutuhkan biaya komputasi yang mahal karena kebutuhan untuk menghitung nilai probabilitas untuk tiap nilai dari perkalian kartesius. penerapan Teorema Bayes untuk mencari penerapan dinamakan inferens Bayes

Contoh Soal :
Sebuah perkantoran biasanya membutuhkan tenaga listrik yang cukup agar semua aktifitas pekerjaannya terjamin dari adanya pemutusan aliran listrik. Terdapat dua sumber listrik yang digunakan PLN dan Generator. Bila listrik PLN padam maka secara otomatis generator akan menyala dan memberikan aliran listrik untuk seluruh perkantoran. Masalah yang selama ini mengganggu adalah ketidak satabilan arus (voltage) Listrik. Selama beberapa tahun terakhir, diketahui bahwa perkantoran itu menggunakan listrik PLN adalah 0.9 dan peluang menggunakan generator adalah 0.1 peluang terjadi ketidak stabilan pada arus PLN maupun generator masing-masing 0.2 dan 0.3.

Permasalahan ini di ilustrasikan Sebagai berikut :

E   : Peristiwa listrik PLN digunakan
Ec : Peristiwa listrik Generator digunakan
A  :Peristiwa terjadinya ketidak stabilan arus

Peristiwa A dapat ditulis sebagai gabungan dua kejadian yang lepas






Dengan menggunakan probabilitas bersyarat maka :


Diketahui:
P(E)=0.9    P(E’)=0.1
P(A|E)=0.2    P(A|E’)=0/3
Sehingga:
P(A)=P(E).P(A|E)+P(E’).P(A|E’)
=(0.9).(0.2)+(0.2).(0.3)
=0.21

Kembali pada permasalahan diatas, bila suatu saat diketahui terjadi ketidak stabilan arus listrik, maka berapakah probabilitas saat itu aliran listrik berasal dari generator ? Dengan menggunakan rumus probabilitas bersyarat diperoleh.

P(E’|A)=P(E’∩A)/P(A)
            =P(E’).P(A|E’)/P(A)
            =0.03/0.21=0/143

Peristiwa B1,B2,….,Bk merupakan suatu sekatan(partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi)≠0 untuk i=1,2,…,k maka setiap peristiwa A anggota S berlaku:

 

Digunakan bila ingin diketahui probabilitas P(B1|A),P(B2|A)….,P(Bk|A) dengan rumus sebagai berikut :






Suatu generator telekomunikasi nirkabel mempunyai 3 pilihan tempat untuk membangun pemancar sinyal yaitu didaerah tengah kota, daerah kaki bukit dan daerah tepi pantai, dengan masing-masing mempunyai peluang 0.2,0.3 dan 0.5. Bila pemancar dibangun ditengah kota, peluang terjadi gangguan sinyal adalah 0.05. Bila pemancar dibangun dikaki bukit, peluang terjadinya gangguan sinyal adalah 0.06. Bila pemancar dibangun ditepi pantai, peluang gangguan sinyal adalah 0.08.

A. Berapakah peluang terjadinya gangguan sinyal ?
B. Bila diketahui telah terjadinya gangguan pada sinyal, berapa peluang bahwa operator tersebut ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai ?

Misal :
A          = Terjadi ganguan sinyal
B1        = Pemancar dibangun di tengah kota
B2        = ----------------------------di kaki bukit
B3        = ----------------------------di tepi pantai
Maka :
A. Peluang terjadinya ganguan sinyal
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
       = (0,2).(0.05)+(0.3)(0.06)+(0.5)(0.08)=0.001+0.018+0.04=0.068






B. Diketahui telah terjadi gangguan pada sinyal, maka peluang bahwa operator ternyata telah membangun pemancar di tepi pantai.



Dapat dinyatakan dengan ,"peluang bersyarat bahwa operator membangun pemancar di tepi pantai bila diketahui telah terjadi gangguan sinyal".